国名：日本国

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配分額：4550000円 （ 直接経費：3500000円 、 間接経費：1050000円 ）

本研究のテーマは量子ウォークである。量子ウォークはランダムウォークの量子版とも言われるものである。通常の古典的ランダムウォークでは、各時点および地点においてどちらの方向に進むのかが、コイントスのような古典的な確率変数によって決定される。その一方で量子ウォークでは、ユニタリー行列、より一般の枠組みではユニタリー作用素によって与えられれる。量子ウォークの研究は量子物理学との関連が深く、さまざまなバックグラウンドを持つ研究者が関心を持っている。
各時点における時間的変化が古典的確率現象によって与えられる過程と、量子物理学的な遷移によって与えられる量子ウォーク、この差異は決定的なものであり、両者の性格を大きく異らせている。古典的ランダムウォークでは確率分布の標準偏差が経過時間の平方根に比例するが、最も代表的な量子ウォークでのそれは経過時間そのものに比例する。これは量子ウォークの最大の特徴であり、線形的伝搬と呼ばれている。量子ウォークの第二の特徴は、局在化が起こり得るということである。各地点及び各時点における遷移が非自明なユニタリー行列で与えられているにも関わらず、量子の存在確率がある地点に停留し続けるような量子ウォークが存在する。このような現象を局在化という。
古典的な確率現象は多くの研究者によって研究され、さまざまな解析が行われてきた。その一方で量子ウォークの研究はまだ日が浅く、解析が容易な具体的な量子ウォークを徹底的に解析する研究がこれまでの主流であった。本研究課題では、新たな視点を量子ウォークに導入したい。量子ウォークが全体としてどれくらい多様なのか、どれほど多くの現象を量子ウォークが記述できるのかについて研究いたい。この方向性での研究の準備として二つの取り組みが必要である。それは量子ウォークの定義を明確にすること、及び量子ウォークを分類することである。

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配分額：3120000円 （ 直接経費：2400000円 、 間接経費：720000円 ）

本研究は数学についての研究である。数あまたありえる数学の研究課題のうち特に距離空間の大規模構造について新たな定理を発見するべく取り組んだ。距離空間について調べるためには様々な方法がありえるが、作用素環論を用いる方法を採用した。研究代表者は以前から作用素環論を研究しており、これまでに培ってきた知識が活かされた。距離空間の従順性と呼ばれる性質と、作用素環の有限次元近似性質の対応は従来から知られていたが、その一般化を試みた。

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